Matriz identidad

En álgebra lineal, la matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad (donde dicho producto esté definido) no tiene ningún efecto. La columna i-ésima de una matriz identidad es el vector unitario  de una base vectorial inmersa en un espacio Euclídeo de dimensión n. Toda matriz representa una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. La matriz identidad se llama así porque representa a la aplicación identidad que va de un espacio vectorial de dimensión finita a sí mismo.

Definición

Como el producto de matrices sólo tiene sentido si sus dimensiones son compatibles, existen infinitas matrices identidad dependiendo de las dimensiones. , la matriz identidad de tamaño , se define como la matriz dia

Suma de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ´ 2 y otra de 3 ´ 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

  

    

   

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

     

           

Ejercicios y problemas de matrices

Ejercicios resueltos de matrices

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Teoría y ejemplos para resolver potencias de matrices, calcular por inducción la potencia enésima de una matriz. Resolver ecuaciones

Concepto de Matriz

Concepto de matriz

¿Qué es una matriz? Siempre que colocamos un elemento en filas y columnas hacemos uso de una estructura matricial.

Por ejemplo, cualquier espectáculo en el que las entradas estén numeradas hace uso de este tipo de estructuras. Lo que se hace es dividir la Platea en filas y columnas. Si en nuestra entrada pone Fila 23, asiento 12 nos está indicando que la butaca está en la fila 23 y columna 12.

Cualquier tabla de las que utilizamos en los editores de texto no deja de ser una matriz, ya que está organizada por filas y columnas.

Por ejemplo, la tabla

2	1	5	8
3	2	2	0
2	1	6	4

tiene 3 filas y 4 columnas. El número que ocupa la fila 2 y columna 4 es el cero.

Para que una tabla sea una matriz representativa de algún objeto matemático basta con que en cada celda pongamos algún valor numérico, le quitemos la cuadrícula y la encerremos entre dos grandes paréntesis

⎛⎝232121526804⎞⎠

Y ya tenemos una matriz de las que se utilizan habitualmente en matemáticas.

Tipos de matrices

Una matriz en la que el número de filas es igual al número de columnas se dice que es una matriz cuadrada. Lo es, por ejemplo, la matriz ⎛⎝341210234−58⎞⎠

y no es cuadrada una matriz como (3122−10)

La primera tiene tres filas y tres columnas y se dice que es una matriz 3×3. Se lee “tres por tres”. Para referirnos a la segunda, que tiene dos filas y tres columnas, hablamos de una matriz 2×3, matriz "dos por tres".

De manera que, en general, cuando se habla de una matriz m×n se está haciendo referencia a una matriz que tiene m filas y n columnas. Esta forma de referirse a las matrices no es más que un convenio y podría variar de un autor a otro.

Según esto una matriz m×n será cuadrada cuando m=n.

Notación

Las matrices suelen denotarse con letras mayúsculas

A=⎛⎝34121024−58⎞⎠; B=(3122−10)

También se utilizan letras para hacer referencia a los elementos que forman la matriz

⎛⎝adgbehcfi⎞⎠

Se comprende que cuando se trabaja con matrices muy grandes, por ejemplo de 100×200, es decir con 100 filas y 200 columnas (o más), la utilización de las letras del alfabeto no es práctica, por lo que se recurre a una notación del tipo aij en la que i representa la fila y j representa la columna en la que se encuentra el elemento en cuestión.