MATRIZ INVERSA

DEFINICIÓN DE APLICACIÓN LINEAL INVERSA Y MATRIZ INVERSA.

En apartados anteriores habíamos definido el concepto de aplicación inversa de una aplicación lineal dada y la relación que guardaban estas aplicaciones lineales construidas respecto a sus matrices asociadas. Vamos a recordarlo con un ejemplo.
Sea f  la aplicación definida en DERIVE por

Se puede comprobar que la aplicación g: 
 

es justamente la aplicación lineal inversa de f porque se verifica que: 
 

Es decir tenemos que 
 

¿Cuál es la relación que guardan sus matrices asociadas?
La matriz asociada a f respecto de las bases canónicas de R³ es

y la matriz asociada a g es 
 

¿Cuál será la matriz asociada a la composición?
Obsérvese que los productos:

matriz correspondiente asociada a la aplicación identidad.
En conclusión tenemos que
 

Definición (Aplicación lineal inversa y matriz inversa)
Sea con matriz asociada . Si existe entonces
 a)  es linealb) por lo que existe una matriz  tal que si A es la matriz asociada a f se cumple que
 A.B = B.A = Id.
A esta matriz B se la denomina la matriz inversa de A , es decir B=A^-1.
 
Ejercicio II-32
Dadas las matrices

,

Obtener los valores de c y d para que B sea la matriz inversa de A.
 

Una de las características fundamentales de las matrices y por tanto de las aplicaciones lineales, es que no todas las matrices y aplicaciones lineales tienen inversa. Para ello vamos a estudiar el siguiente ejemplo.
Consideremos la siguiente matriz
¿Podríamos obtener su matriz inversa?
Una posible forma de resolver este problema consistiría en plantear la siguiente situación en DERIVE:
    Si editamos la matriz A de la que tenemos que obtener su inversa

a continuación definimos la matriz B que será candidata a inversa de A, de la cual desconocemos todos sus elementos, por lo que los planteamos en forma de incógnita: 
 

Esta matriz B deberá verificar la ecuación: 
 

que al simplificar con el comando SIMPLIFY obtenemos las 9 ecuaciones que deberíamos resolver 
 

Si ahora intentamos resolverlas con SOLVE, obtenemos en la línea de estado el mensaje 
 

Es decir, que no existe una matriz inversa de A. 
  
  
 

¿Por qué?¿Cuál es la característica que ha de tener una matriz para tener inversa?

 
    Una primera consideración al respecto es que LAS MATRICES NO CUADRADAS NO TIENEN INVERSA. Esta consideración es evidente, pues la INVERSA debe verificar que el producto por la izquierda y por la derecha debe dar siempre la matriz identidad, hecho que sólo se produce cuando la matriz es CUADRADA.
 

Por otro lado acabamos de ver que NO TODAS LAS MATRICES CUADRADAS TIENEN INVERSA.
 

Para investigar sobre una condición de INVERTIBILIDAD, vamos a considerar el siguiente ejercicio.
 

Ejercicio II-33.
Estudiar si la matriz

tiene inversa.
 

El resultado de este ejercicio es que la matriz inversa sería la matriz

por lo que sí tiene inversa. 
 

¿Por qué la matriz  tiene inversa y sin embargo  no la tiene?¿Qué características debe tener una matriz CUADRADA para tener inversa?
¿Cuál es el rango de A? ¿Y el rango de C?
Intentar investigar esta propiedad.

  
 
CONDICIÓN DE INVERTIBILIDAD

Sea  se verifica que A tiene inversa rg(A)=n (la matriz A tiene rango completo)

Ejercicio II-34.
Dadas las matrices cuadradas de orden 3:
estudiar cuales tienen inversa. 
 


PROPIEDADES DE LAS MATRICES INVERTIBLES.
Cuando una matriz cuadrada A tiene inversa decimos que A es INVERTIBLE y a su inversa se la denota por A^-1.
 

Vamos a investigar ahora las propiedades que tienen las matrices invertibles. Para lo cual consideremos dos matrices en DERIVE.

Estas matrices son invertibles como se ha visto en el ejercicio anterior, veamos las propiedades que cumplen.
 

Para calcular la matriz inversa de A efectuaremos en DERIVE lo siguiente:

Primero definimos la matriz inversa con 9 incógnitas las llamamos IA:

Planteamos la ecuación matricial 
 

que nos da el sistema 
 

cuyas soluciones con SOLVE son 
 

por lo que la matriz inversa es

Hacemos lo mismo con B: 
 

y tras resolver este sistema con SOLVE obtenemos 
 

por tanto la inversa de B es:

Como puede observarse al resolver los dos sistemas obtenemos soluciones UNICAS. Esto nos conduce a la primera propiedad
 

    1) LA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ INVERTIBLE ES UNICA.
Teníamos calculada la matriz inversa de A y era la matriz

Vamos a nombrarla en DERIVE como IB:

Tomemos una matriz genérica de orden 3



Vamos a calcular la inversa de esta matriz IB en DERIVE por el procedimiento que hemos realizado antes:
editamos la ecuación matricial que ha de cumplir MG para ser la inversa de IB



simplificamos y obtenemos el sistema



que al resolver nos da como soluciones
 
 



es decir la matriz


que es la matriz A.Por tanto resumiendo hemos obtenido que (A^-1)^-1 =A
2) LA MATRIZ INVERSA A^-1 INVERSA DE A CUMPLE (A^-1)^-1=A
 
 
 
 

    Con las mismas matrices que tenemos antes, A, B, vamos a calcular la inversa de A.B. Para ello multipliquemos las matrices por la matriz incógnita de orden tres planteando la ecuación

 

al simplicar obtenemos el sistema

 

luego se resuelve con SOLVE y resulta

 

por tanto (A.B)^-1 es la matriz

 

¿Habría otra forma de calcular es inversa del producto por medio de la inversas de las matrices?
Intentemos multiplicar A^-1.B^-1



Obsérvese que no obtenemos el resultado deseado, por el contrario efectuando
B^-1.A^-1


Obtenemos la inversa anterior, por tanto podríamos concluir que
 3) (A.B)^-1 = B^-1.A^-1
 

Ejercicio II-35.
Dadas las matrices

a) Hallar c y d para que A sea la matriz inversa de B.
b) Calcular las inversas de C y BC ; y comprobar que (BC)^-1=C^-1B^-1.

METODO DE GAUSS-JORDAN PARA EL CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ.
    Uno de los métodos más habituales para obtener la matriz inversa de una matriz invertible es el llamado método de Gauss-Jordan.
Este método consiste en ir efectuando transformaciones ELEMENTALES P₁,P₂,...,P_r entre las FILAS de la matriz inicial A para conseguir transformarla en la matriz identidad. Las transformaciones conseguidas permitirar obtener la matriz inversa.
Las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES que se podrán realizar con las FILAS de la matriz A serán:a) intercambiar filas
b) multiplicar una fila por un escalar.
c) sumar a una fila una combinación lineal de las restantes.    La idea consiste en ir aplicando a la matriz A una serie de transformaciones encaminadas a conseguir obtener la matriz identidad, es decir:
 

 
 ¿Cómo son estas transformaciones, cómo efectuarlas?
 Consideremos la siguiente matriz en DERIVE:
Deseamos efectuar transformaciones en esta matriz para convertirla en la matriz identidad de orden 3. Un primer cambio podría ser intentar convertir la primera columna en (1,0,0), para ello dejamos la primera fila como está, la segunda también y la tercera podríamos combinarla linealmente con la primera. Esto se puede efectuar mediante multiplicando la matriz A por la matriz P₁ siguiente: 
 

obsérvese que en la primera fila de esta matriz indicamos que la primera columna queda tal cual, con la segunda fila de esta matriz indicamos que la segunda columna de A quedará tal cual, y en la tercera fila indicamos que la tercera columna de esta transformación (producto de P₁.A) se obtendrá sumando primera y tercera fila. Efectivamente si realizamos este producto obtenemos

Con la matriz que hemos obtenido tenemos que transformar la segunda columna (3,1,6) en la columna (0,1,0). Esto lo podremos conseguir considerando una transformación que realice lo siguiente:

• la primera fila, podemos intentar transformarla en (1,0,-). Esto lo podríamos obtener si restamos a la primera fila 3 veces la segunda. Esto se obtiene si colocamos en la primera fila de nuestra transformación el vector (1,-3,0).
• la segunda fila que quede tal cual, por lo tanto colocamos en la segunda fila de nuestra matriz transformación el vector (0,1,0)
• la tercera fila deseamos transformarla en (0,0,-), para ello restaremos a la tercera fila actual 6 veces la segunda , es decir colocaremos en la tercera fila de nuestra matriz transformación el vector (0,-6,1)

Por tanto la matriz P₂ será
 Si efectuamos ahora el producto P₂(P₁A) obtenemos
 Ahora vamos a intentar convertir la última columna en la columna (0,0,1). Para ello realizaremos la siguiente transformación:

• la primera fila, deseamos convertirla en (1,0,0), por tanto para poder eliminar ese 2, realizaremos una combinación lineal de la primera fila con la última fila (ya que esta última fila (0,0,-6) tiene en sus dos primeras columnas ceros). Un posible cambio se podría realizar restando a la primera fila -4/6 de la tercera, es decir incluyendo en la primera fila de nuestra transformación el vector (1,0,-4/6).
• En la segunda fila deseamos transformarla en (0,1,0), para eliminar ese -2, podríamos considerar una transformación que sume a la segunda fila 2/6 de la tercera en cuyo caso tomaríamos la fila (0,1,2/6).
• por último deseamos que la última fila sea (0,0,1), por tanto ese -6 debemos convertirlo en 1, situación que podemos realiza dividiendo la última fila por -6, es decir considerando el vector (0,0,-1/6).

Con estas consideraciones construimos la tercera matriz P₃:
 Al multiplicar ahora P₃(P₂P₁A) resulta
 En consecuencia el producto (P₃P₂P₁) debe darnos la matriz inversa de A, que será:
 Si la definimos como la matriz B
 Podemos comprobar que A.B = B.A = Id.
 Las matrices de transformación que hemos empleado podrían haber sido otras, y con un orden distinto, podrían haber sido más, pero siempre el producto final nos daría la misma matriz.
 Así por ejemplo podríamos haber efectuado los siguiente:

• Primero transformar A en una matriz que tiene 1 en la diagonal principal mediante la matriz Q₁

Con esta matriz A se transforma en

• Un segundo paso podría ser convertir la primera columna en la columna (1,0,0) mediante la matriz Q₂

con esta transformación queda

• Intentamos ahora que la segunda columna se convierta en (0,1,0) mediante la transformación

quedando ahora el proceso de la siguiente forma

• Hacemos que la última columna el -3/2 se convierta en 1 mediante

En cuyo caso el producto de transformaciones es 
 

Para convertir (-4,2,1) en la columna (0,0,1) construimos la matriz de transformación 
 

Con lo que ya tenemos la identidad al finalizar el producto con 
 

Obsérvese que el producto de esas cinco matrices nos da la misma matriz inversa que habíamos calculado antes con otras transformaciones: 
 

Ejercicio II-36.
Dada la matriz  construir la matriz inversa de A mediante el producto de transformaciones de Gauss-Jordan realizadas sobre la matriz A.